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富贵而名摩灭不可胜记,唯俶傥非常之人生焉

世有大勇者,猝然临之而不惊,无故加之而不怒,此其所挟持者甚大,而其志甚远也

 
 
 

日志

 
 

忽略了本应该有所联系的关系  

2010-06-11 18:35:34|  分类: 读书心得及笔记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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昨天的傅里叶和富里埃,级数。

一直把傅里叶当做是一个搞偏微分的物理学家。

而富里埃则是一个纯数学家,

结果是同一个数学家。傅里叶(Jean Baptiste Joseph Fourier,1768~1830))数学家、物理学家。最早使用定积分符号,改进符号法则及根数判别方法。傅立叶级数(三角级数)创始人。f(t)满足傅立叶积分定理条件时,下图①式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换,
  ②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数,f(t)叫做
  F(ω)的象原函数。
  
忽略了本应该有所联系的关系 - 小张继 - 富贵而名摩灭不可胜记,唯俶傥非常之人生焉

  ①
  
忽略了本应该有所联系的关系 - 小张继 - 富贵而名摩灭不可胜记,唯俶傥非常之人生焉

  ②
  中文译名
  Transformée de Fourier有多种中文译名,常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见,本文统一写作“傅里叶变换”。
应用
  傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。
概要介绍
  * 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的(参见:林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》,科学出版社,北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974)。
  * 傅里叶变换属于谐波分析。
  * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
  * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
  * 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
  * 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).
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基本性质
线性性质
  两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是:若函数f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在,α 和 β 为任意常系数,则\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g];傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符;
频移性质
  若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换,则对任意实数 ω0,函数f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅里叶变换,且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) 。式中花体\mathcal是傅里叶变换的作用算子,平体F表示变换的结果(复函数),e 为自然对数的底,i 为虚数单位\sqrt;
微分关系
  若函数f \left( x\right )当|x|\rightarrow\infty时的极限为0,而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在,则有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ,即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 ? iω 。更一般地,若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0,且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在,则\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ,即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( ? iω)k。
卷积特性
  若函数f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上绝对可积,则卷积函数f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里叶变换存在,且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷积性质的逆形式为\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ,即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。
Parseval定理
  若函数f \left( x\right )可积且平方可积,则\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。
傅里叶变换的不同变种
连续傅里叶变换
  主条目:连续傅立叶变换
  一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。
  f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.
  上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换,即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。
  一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform)。
  当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform).
  另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(?ω) = F(ω)*成立.
傅里叶级数
  主条目:傅里叶级数
  连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广,因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数,其傅里叶级数是存在的:
  f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^ ,
  其中Fn 为复振幅。对于实值函数,函数的傅里叶级数可以写成:
  f(x) = \fraca_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],
  其中an和bn是实频率分量的振幅。
  离散时间傅里叶变换
  主条目:离散时间傅里叶变换
  离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换(DTFT)的特例(有时作为后者的近似)。DTFT在时域上离散,在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。
离散傅里叶变换
  主条目:离散傅里叶变换
  为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换,必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内,且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里叶变换,将函数 xn 表示为下面的求和形式:
  x_n = \frac1 \sum_{k=0}^ X_k e^{i\frac{2\pi} kn} \qquad n = 0,\dots,N-1
  其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为\mathcal(n^2),而快速傅里叶变换(FFT)可以将复杂度改进为\mathcal(n \log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
  在阿贝尔群上的统一描述
  以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外,将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性(英文版)中的介绍。
时频分析变换
  主条目:时频分析变换
  小波变换,chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。
  傅里叶变换家族
  下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.
  变换 时间 频率
  连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性
  傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性
  离散时间傅里叶变换 离散, 非周期性 连续, 周期性
  离散傅里叶变换 离散, 周期性 离散, 周期性
  傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出,所以以其名字来命名以示纪念。
  从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
  傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字,可以解释为深入的研究。从字面上来看,"分析"二字,实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看,"分析主义"和"还原主义",就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子,而原子不过数百种而已,相对物质世界的无限丰富,这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。
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数学领域
         尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类,这一想法跟化学上的原子论想法何其相似!奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇:
  1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;
  2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
  3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
  4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
  5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)).
  正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
  有関傅立叶变换的FPGA実现
  傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作,广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系,因此,在N较大时,直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而,快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。
 整体结构
  一般情况下,N点的傅立叶变换对为:
  其中,WN=exp(-2pi/N)。X(k)和x(n)都为复数。与之相对的快速傅立叶变换有很多种,如DIT(时域抽取法)、DIF(频域抽取法)、Cooley-Tukey和Winograd等。对于2n傅立叶变换,Cooley-Tukey算法可导出DIT和DIF算法。本文运用的基本思想是Cooley-Tukey算法,即将高点数的傅立叶变换通过多重低点数傅立叶变换来实现。虽然DIT与DIF有差别,但由于它们在本质上都是一种基于标号分解的算法,故在运算量和算法复杂性等方面完全一样,而没有性能上的优劣之分,所以可以根据需要任取其中一种,本文主要以DIT方法为对象来讨论。
  N=8192点DFT的运算表达式为:
  式中,m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2,k=2048k1+k2)其中n1和k2可取0,1,...,2047,k1和n2可取0,1,2,3。
  由式(3)可知,8k傅立叶变换可由4×2k的傅立叶变换构成。同理,4k傅立叶变换可由2×2k的傅立叶变换构成。而2k傅立叶变换可由128×16的傅立叶变换构成。128的傅立叶变换可进一步由16×8的傅立叶变换构成,归根结底,整个傅立叶变换可由基2、基4的傅立叶变换构成。2k的FFT可以通过5个基4和1个基2变换来实现;4k的FFT变换可通过6个基4变换来实现;8k的FFT可以通过6个基4和1个基2变换来实现。也就是说:FFT的基本结构可由基2/4模块、复数乘法器、存储单元和存储器控制模块构成,其整体结构如图1所示。
  图1中,RAM用来存储输入数据、运算过程中的中间结果以及运算完成后的数据,ROM用来存储旋转因子表。蝶形运算单元即为基2/4模块,控制模块可用于产生控制时序及地址信号,以控制中间运算过程及最后输出结果。
蝶形运算器的实现
  基4和基2的信号流如图2所示。图中,若A=r0+j*i0,B=r1+j*i1,C=r2+j*i2,D=r3+j*i3是要进行变换的信号,Wk0=c0+j*s0=1,Wk1=c1+j*s1,Wk2=c2+j*s2,Wk3=c3+j*s3为旋转因子,将其分别代入图2中的基4蝶形运算单元,则有:
  A′=[r0+(r1×c1-i1×s1)+(r2×c2-i2×s2)+(r3×c3-i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)] (4)
  B′=[r0+(i1×c1+r1×s1)-(r2×c2-i2×s2)-(i3×c3+r3×s3)]+j[i0-(r1×c1-i1×s1)-(i2×c2+r2×s2)+(r3×c3-i3×s3)] (5)
  C′=[r0-(r1×c1-i1×s1)+(r2×c2-i2×s2)-(r3×c3-i3×s3)]+j[i0-(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)-(i3×c3+r3×s3)] (6)
  D′=[r0-(i1×c1+r1×s1)-(r2×c2-i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1-i1×s1)-(i2×c2+r2×s2)-(r3×c3-i3×s3)] (7)
  而在基2蝶形中,Wk0和Wk2的值均为1,这样,将A,B,C和D的表达式代入图2中的基2运算的四个等式中,则有:
  A′=r0+(r1×c1-i1×s1)+j[i0+(i1×c1+r1×s1)] (8)
  B′=r0- (r1×c1-i1×s1)+j[i0-(i1×c1+r1×s1)] (9)
  C′=r2+(r3×c3-i3×s3)+j[i0+(i3×c3+r3×s3)] (10)
  D′=r2-(r3×c3-i3×s3)+j[i0-(i3×c3+r3×s3)] (11)
  在上述式(4)~(11)中有很多类同项,如i1×c1+r1×s1和r1×c1-i1×s1等,它们仅仅是加减号的不同,其结构和运算均类似,这就为简化电路提供了可能。同时,在蝶形运算中,复数乘法可以由实数乘法以一定的格式来表示,这也为设计复数乘法器提供了一种实现的途径。
  以基4为例,在其运算单元中,实际上只需做三个复数乘法运算,即只须计算BWk1、CWk2和DWk3的值即可,这样在一个基4蝶形单元里面,最多只需要3个复数乘法器就可以了。在实际过程中,在不提高时钟频率下,只要将时序控制好便可利用流水线(Pipeline)技术并只用一个复数乘法器就可完成这三个复数乘法,大大节省了硬件资源。
  图2 基2和基4蝶形算法的信号流图
FFT的地址
  FFT变换后输出的结果通常为一特定的倒序,因此,几级变换后对地址的控制必须准确无误。
  倒序的规律是和分解的方式密切相关的,以基8为例,其基本倒序规则如下:
  基8可以用2×2×2三级基2变换来表示,则其输入顺序则可用二进制序列(n1 n2 n3)来表示,变换结束后,其顺序将变为(n3 n2 n1),如:X011 → x110 ,即输入顺序为3,输出时顺序变为6。
  更进一步,对于基16的变换,可由2×2×2×2,4×4,4×2×2等形式来构成,相对于不同的分解形式,往往会有不同的倒序方式。以4×4为例,其输入顺序可以用二进制序列(n1 n2 n3n4)来表示变换结束后,其顺序可变为((n3 n4)(n1 n2)),如: X0111 → x1101 。即输入顺序为7,输出时顺序变为13。
  在2k/4k/8k的傅立叶变换中,由于要经过多次的基4和基2运算,因此,从每次运算完成后到进入下一次运算前,应对运算的结果进行倒序,以保证运算的正确性。
旋转因子
  N点傅立叶变换的旋转因子有着明显的周期性和对称性。其周期性表现为:
  FFT之所以可使运算效率得到提高,就是利用
  FFT之所以可使运算效率得到提高,就是利用了对称性和周期性把长序列的DFT逐级分解成几个序列的DFT,并最终以短点数变换来实现长点数变换。
  根据旋转因子的对称性和周期性,在利用ROM存储旋转因子时,可以只存储旋转因子表的一部分,而在读出时增加读出地址及符号的控制,这样可以正确实现FFT。因此,充分利用旋转因子的性质,可节省70%以上存储单元。
  实际上,由于旋转因子可分解为正、余弦函数的组合,故ROM中存的值为正、余弦函数值的组合。对2k/4k/8k的傅立叶变换来说,只是对一个周期进行不同的分割。由于8k变换的旋转因子包括了2k/4k的所有因子,因此,实现时只要对读ROM的地址进行控制,即可实现2k/4k/8k变换的通用。
存储器的控制
  因FFT是为时序电路而设计的,因此,控制信号要包括时序的控制信号及存储器的读写地址,并产生各种辅助的指示信号。同时在计算模块的内部,为保证高速,所有的乘法器都须始终保持较高的利用率。这意味着在每一个时钟来临时都要向这些单元输入新的操作数,而这一切都需要控制信号的紧密配合。
  为了实现FFT的流形运算,在运算的同时,存储器也要接收数据。这可以采用乒乓RAM的方法来完成。这种方式决定了实现FFT运算的最大时间。对于4k操作,其接收时间为4096个数据周期,这样FFT的最大运算时间就是4096个数据周期。另外,由于输入数据是以一定的时钟为周期依次输入的,故在进行内部运算时,可以用较高的内部时钟进行运算,然后再存入RAM依次输出。
  为节省资源,可对存储数据RAM采用原址读出原址写入的方法,即在进行下一级变换的同时,首先应将结果回写到读出数据的RAM存贮器中;而对于ROM,则应采用与运算的数据相对应的方法来读出存储器中旋转因子的值。
  在2k/4k/8k傅立叶变换中,要实现通用性,控制器是最主要的模块。2k、4k、8k变换具有不同的内部运算时间和存储器地址,在设计中,针对不同的点数应设计不同的存储器存取地址,同时,在完成变换后,还要对开始输出有用信号的时刻进行指示。
硬件的选择
  本设计的硬件实现选用的是现场可编程门阵列(FPGA)来满足较高速度的需要。本系统在设计时选用的是ALTERA公司的STRATIX芯片,该芯片中包含有DSP单元,可以完成较为耗费资源的乘法器单元。同时,该器件也包含有大量存储单元,从而可保证旋转因子的精度。
  除了一些专用引脚外,FPGA上几乎所有的引脚均可供用户使用,这使得FPGA信号处理方案具有非常好的I/O带宽。大量的I/O引脚和多块存储器可使设计获得优越的并行处理性能。其独立的存储块可作为输入/工作存储区和结果的缓存区,这使得I/O可与FFT计算同时进行。在实现的时间方面,该设计能在4096个时钟周期内完成一个4096点的FFT。若采用10MHz的输入时钟,其变换时间在200μs左右。而由于最新的FPGA使用了MultiTrack互连技术,故可在250MHz以下频率稳定地工作,同时,FFT的实现时间也可以大大缩小。
  FFT运算结果的精度与输入数据的位数及运算过程中的位数有关,同时和数据的表示形式也有很大关系。一般来说,浮点方式比定点方式精度高。而在定点计算中,存储器数据的位数越大,运算精度越高,使用的存储单元和逻辑单元也越多。在实际应用中,应根据实际情况折衷选择精度和资源。本设计通过MATLAB进行仿真证明:其实现的变换结果与MATLAB工具箱中的FFT函数相比,信噪比可以达到65db以上,完全可以满足一般工程的实际应用要求。

[编辑本段]
傅里叶级数的公式
  给定一个周期为T的函数x(t),那么它可以表示为无穷级数
  <math>x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}</math>(j为虚数单位)(1)
  其中,<math>a_k</math>可以按下式计算:
  <math>a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}</math>(2)
  注意到<math>f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}</math>是周期为T的函数,故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系(即它们都具有一个共同周期T)。k=0时,(1)式中对应的这一项称为直流分量,<math>k=\pm 1</math>时具有基波频率<math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>,称为一次谐波或基波,类似的有二次谐波,三次谐波等等。
[编辑本段]
傅里叶级数的收敛性
  傅里叶级数的收敛性:满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下:
  在任何周期内,x(t)须绝对可积;
  在任一有限区间中,x(t)只能取有限个最大值或最小值;
  在任何有限区间上,x(t)只能有有限个第一类间断点。
  吉布斯现象:在x(t)的不可导点上,如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t),那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。
[编辑本段]
三角函数族的正交性
  所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧氏空间中,互相垂直的向量之间是正交的。事实上,正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的,所以必然可以张成一个n维空间,也就是说,空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是:
  <math>\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;</math>
  <math>\int _{0}^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)</math>
  <math>\int _{0}^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)</math>
  <math>\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;</math>
  <math>\int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;</math>
[编辑本段]
奇函数和偶函数
  奇函数<math>f_o(x)</math>可以表示为正弦级数,而偶函数<math>f_e(x)</math>则可以表示成余弦级数:
  <math>f_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx);</math>
  <math>f_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx);</math> 只要注意到欧拉公式: <math>e^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta</math>,这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。
[编辑本段]
广义傅里叶级数
  任何正交函数系<math>\{ \phi(x)\}</math>,如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点,那么如果f(x)满足封闭性方程:
  <math>\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}</math> (4),
  那么级数<math>\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x)</math> (5) 必然收敛于f(x),其中:
  <math>c_n=\int _{a}^{b}f(x)\phi_n(x)\,dx</math> (6)。
  事实上,无论(5)时是否收敛,我们总有:
  <math>\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}</math>成立,这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外,式(6)是很容易由正交性推出的,因为对于任意的单位正交基<math>\{e_i\}^{N}_{i=1}</math>,向量x在<math>e_i</math>上的投影总为<math><x,e_i></math> 。

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