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富贵而名摩灭不可胜记,唯俶傥非常之人生焉

世有大勇者,猝然临之而不惊,无故加之而不怒,此其所挟持者甚大,而其志甚远也

 
 
 

日志

 
 

微积分里的符号-算子  

2010-06-05 23:33:31|  分类: 读书心得及笔记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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微积分里的符号  算子是表示一种对函数的运算的符号。
  如同普通的运算符号作用于数后可以得到新的数那样,一个算子作用于一个函数后可以根据一定的规则生成一个新的函数。常见的算子有D(微分算子),∫(不定积分算子),grad(梯度算子),?(散度算子),△(拉普拉斯算子)等。它们的定义分别为:
  D(f) = f'
  ∫(f) = F,F为f的原函数
  grad(f) = [df/dx1,df/dx2,...,df/dxn],其中f=f(x1,x2,...,xn)为n元标量函数
  ?f = grad?f = df1/dx1+df2/dx2+...+dfn/dxn,其中f=(f1,f2,...,fn)为n元n维向量函数
  △f =d^2f/dx1^2+d^2f/dx2^2+...+d^2f/dxn^2。

 
算子的特征值

  对于一个输入和输出函数类型相同的算子T,满足 T(f) = kf 的k称为T的特征值,相应的f称作T关于k的特征函数。

 
可交换算子

  对两个输入和输出函数类型相同的算子T1和T2,如果 T1T2(f) = T2T1(f) 称T1和T2为可交换的,可交换意味着T1和T2拥有同样的特征函数(但对应的特征值不同)。
  心理学

  在心智技能形成的第一阶段,即认知阶段,要了解问题的结构,即起始状态,要到达的目标状态,从起始状态到目标状态所需要的步骤。每一个步骤就是一个算子。

定义

  拉普拉斯算子是n欧几里德空间中的一个二阶微分算子,定义为梯度()的散度()。因此如果f是二阶可微的实函数,则f的拉普拉斯算子定义为:

  (1) f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数

  (2) 作为一个二阶微分算子,拉普拉斯算子把C函数映射到C函数,对于k ≥ 2。表达式(1)(或(2))定义了一个算子Δ : C(R) → C(R),或更一般地,定义了一个算子Δ : C(Ω) → C(Ω),对于任何开集Ω。

  函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵

坐标表示式

二维空间

  其中xy代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标 另外极坐标的表示法为:

三维空间

  笛卡儿坐标系下的表示法 圆柱坐标系下的表示法 球坐标系下的表示法

N 维空间

  在参数方程为(其中以及)的N 维球坐标系中,拉普拉斯算子为:

  其中是N ? 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。

恒等式

  如果fg是两个函数,则它们的乘积的拉普拉斯算子为: f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ),是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量,而角函数的梯度与径向向量相切,因此:

  球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数:

  因此:

推广

  拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间,这时它就有可能是椭圆型算子,双曲型算子,或超双曲型算子。

  在闵可夫斯基空间中,拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子:

  达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号,而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的,这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量;如果x方向用寸来衡量,y方向用厘米来衡量,也需要一个类似的因子。

拉普拉斯-贝尔特拉米算子

  主条目:拉普拉斯-贝尔特拉米算子

  拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子,称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯-贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子(也称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子)。

  另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法,是通过拉普拉斯-德拉姆算子,它运行于微分形式。这便可以通过Weitzenböck恒等式来与拉普拉斯-贝尔特拉米算子联系起来。

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