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富贵而名摩灭不可胜记,唯俶傥非常之人生焉

世有大勇者,猝然临之而不惊,无故加之而不怒,此其所挟持者甚大,而其志甚远也

 
 
 

日志

 
 

2010年06月05日  

2010-06-05 18:32:36|  分类: 他科之璞可以攻玉 |  标签: |举报 |字号 订阅

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浅谈黎曼积分、勒贝格积分及复积分
余彬
                (数学系041宜宾邮编 644007
                      指导教师:唐
摘要:本文介绍了黎曼积分、勒贝格积分和复积分的起源。对逐项逼近、分割求和的积分思想进行了充分的说明。本文还给出了三种积分的极限式定义和基本性质,据此来浅谈三种积分之间的联系。
关键词:黎曼积分勒贝格积分复积分起源联系
 积分是整个分析数学中最基本的内容,现在的积分朝着横向和纵向两个方向发展。纵向发展是近现代数学的核心时积分(黎曼积分和勒贝格积分);横向发展是复变函数理论中的复积分。数学的发展表明两类积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用。同时勒贝格积分的创立是积分发展从近现代向现代水平升华的一次智力革命。本文详述勒三种积分的产生和发展的过程,进而浅谈了三种积分间的联系。
1.黎曼积分
1.1积分的起源
目前数学分析中所介绍的积分概念和方法起源于17世纪微积分的创始人牛顿和莱布尼茨,在接下来的17、18世纪,经过著名数学家欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、康托等人的努力,积分的概念逐步发展。最终成于黎曼和达布。现在通称这种积分为黎曼积分。
黎曼积分开始于曲边形的面积和曲面体的体积的这类问题的计算,十七世纪初,欧洲的数学家们试图改进古希腊人解决类似问题时所采用的常竭法,他们改进的思想类似于我国古代数学家刘微的割圆术,这种方法就时黎曼积分的雏形,用等分法对区间作分割,取各个小区间的右端点为介点,那当点的横坐标为时分点为:,介点为:。积分和为:,所求面积便是这个积分和当时的极限,这种方法的局限性在于对注意函数的积分和是否当时却都存在极限?即使极限存在曲边形的面积作为一种客观现实存在,它的值应当与区间的分割方法和介点的选取无关,换言之,如果注意选取分点和介点的话,这无穷多个积分和是否都具有相同的极限?这些问题在17、18世纪未曾引起人们的注意,这是由于在那个时代函数的概念尚未精确化,极限理论也未完善化,人们只求方法的有效性,几何方法占据着数学的统治地位,积分概念的严密化,是同函数的不断明晰息息相关的。到了18世纪欧拉将一些简单的代数函数推广到由一些常量与变量形式的有限或无限的解析表达式,但由于数学家们在处理积分问题上过多地依赖物理意义和整体思维的定势,这样到18世纪积分的概念未能取得实质性的进展,到了19世纪柯西第一个对积分概念做出了开创性工作。他在进一步明确函数概念的基础上确定了极限、连续、导数与微分等概念并第一次提出用分割区间形式,然后求极限来定义积分。同时他给初了连续函数定积分的确切定义:柯西用注意分点将区间分割成个子区间,并仍用表示第个子区间的长度,即,他在每一个子区间上,任意一个介点,即之后,对区间上的连续函数作积分和:。他把在上可积定义为:存在,其中并且称为在区间上的定积分,记为:。到了1854年黎曼将柯西的定义推广到区间上的有界函数,他仍定义关于有界函数的积分和的极限为。同时他还定义了在上的振幅,即:在每个子区间上的最大值与最小值的差。黎曼和达布还应用不断简化的数学模型的方法,给初了可积函数更为明确的定义,他们借助于函数在每个子区间上的上、下确界构造出达布上、下和:给出了区间上有界函数可积的一个充分必要条件:。至此,黎曼积分理论已经完备,此后经过数学家们的努力,黎曼积分很快在两个方面得到了拓广,一方面时增加了积分变量的个数,分别由欧拉和拉格朗日引入了二重积分和三重积分,另一方面去掉积分区间为有限和被积函数为有界的限制,由柯西引入反常积分,即广义黎曼积分。
1.2曼积分的定义
设是定义在上的一个函数,是一个确定的实数,若对任意给的函数,总存在某一些函数,使得对的任何分割以及在其上任意选取的点集,总要就有:,则称函数在区间上黎曼可积,数称为在上的黎曼积分,记作:
1.3黎曼积分的基本性质
1、若在上可积,为常数,则在上也可积,且
                        
2、若都在上可积,则在上也可积,且
                  
3、若都在上可积,则在上也可积。
4、若在上可积,则任给,则在与上都可积,且有:
                      
5、若与为上的两个可积函数是,则有:
                        
6、若在上可积,则在上也可积,且:
                       
 
2.勒贝格积分
2.1勒贝格积分的起源
勒贝格积分的产生时由黎曼积分的局限性引起,我们首先来看黎曼积分的局限性,它的局限性主要表现在以下几点:1、黎曼可积的函数类基本局限于连续函数类,因此适用的范围比较狭窄。例如我们常见的狄利克雷函数,虽然是有界的,但却不黎曼可积;2、黎曼可积函数极限与积分交换次序的条件比较苛刻,其限制了黎曼积分运算的灵活性,我们都期望的是当黎曼可积函数列收敛到时,有,但事实往往并不是这样的。例如:设为定义在上的函数,其中,则为连续函数,且而另一方面,当充分大时,有即的极限函数为而,即不成立,所以在数学分析中一般都时用黎曼可积函数列在所给区间上一致收敛的条件来保证极限运算与积分运算可以交换次序,但此条件下不但非常苛刻且验证起来也非常不方便;3、黎曼积分运算不完全是微分运算的逆运算,牛顿—莱布尼茨公式的使用也有很大的局限性,在数学分析中我们知道:对定义在上的可微函数,当连续时有:
即对进行微分运算再进行积分运算仍得到,故称积分运算是微分运算的逆运算,然而要使微分基本定理成立必须是可积的,但事实并不如此。如:则在上有
在上不连续,故不黎曼可积,则牛顿—莱布尼茨公式不能成立,就说明黎曼可积只是部分地成为微分运算之逆。基于以上黎曼积分局限性,为了使积分学有更为广泛的应用,人们期望将黎曼积分的概念进行改造,把积分学推向前进的就是法国数学家勒贝格,他于1902年成功的引入了一种新的积分—勒贝格积分。勒贝格积分是建立在点集测度论和可测函数论基础上的。勒贝格首先建立了点集测度的概念,即把当测度和内测度相等时称集E为可测集上的函数为可测函数,接着他给出他自己的积分概念:设是定义在区间种的可测集E上的有界可测函数,记:对区间用分割T分成了个子区间,其中记,则每个均为可测集,令则存在,若对有界可测函数恒有,则称在E上勒贝格可积,记为。
勒贝格积分的建立是积分发展史上的一次革命,它使得积分论在集合论、测度论的基础上走向现代化,从而使得它能在现代水平层次上向其它现代数学分支上渗透,在数学的历史长河中,人们不会忘记勒贝格的功绩。
2.2勒贝格积分的定义
设E是可测集,是定义在E上的可测函数,又设是有界的,即存在有限实数 ,使得,在中任取一分点组,记,任取,作和式:,如果存在有限实数S满足,则称在E上勒贝格可积的,并称是在E上的勒贝格积分,记作:
2.3勒贝格积分的性质
1、设定义于,且在上分别可积,则在E上也可积,且:             
2、设在E上可积,则在E上也可积,且:
                 
3、设在E上可积,则对任何常数C,也在E上可积,且:
                    
4、设在E上可积,且,则:
                      
5、设在E上可积,则在E上也可积,且:
3.复积分
3.1复积分的起源
复积分理论是建立在复数理论和解析函数理论基础上的,所以我们先来谈一下复数与解析函数理论的发展。复数理论的产生与发展经历了漫长而艰难的岁月。16世纪中叶,意大利数学家卡尔达诺在解方程时,首先产生了负数开平方的思想,他把40看作的乘积,但当时许多人根本不承认负数开方后还是“数”,因而人们称其为“虚数”,到了1777年欧拉初步地建立了复数理论并首创用“”作为虚数单位的符号,随后丹麦数学家万赛尔在前人工作的基础上,提出把复数用笛卡尔平面上的一点来表示,到了1831年被人誉为“数学王子”的法国数学家高斯给出了“复数”这个名词,他与英国数学家哈密顿定义复数为为一有序的实数对,从此复数理论成为非常系统的理论,这样数的概念在实数的基础上进一步得到了发展,产生了复数与复变量,为了进一步研究复变量之间的依赖关系,高斯于1812引入了复变函数的概念:设在复平面C上已给点集E,如果有一法则,使得存在和它相对应,我们就把称为在E上确定的复变函数,记为:,随后法国数学家柯西给出了解析函数的定义以及著名的柯西—黎曼条件,即:设函数在区域D内确定在区域D内解析的充要条件是:D内可微是:,至此解析函数理论基本建立,至此在这两个理论的基础上黎曼于1814年建立了复积分理论。复积分理论的建立把黎曼积分理论从实数域上推广到复数域上,使得积分理论向前迈了一大步。
3.2复积分的定义
设在复平面C上有一条连接两点的简单曲线C,设C上的连续函数,把曲线C用分点分成个更小的弧,在这类分点是在曲线C上按照从的次序排列的,如果是在的弧上的任一点,作和式,当曲线C上的分点的个数无穷增加且时,和式:有极限,这时我们称这一极限为沿曲线C的积分,记作:
二、复积分的基本性质:
函数都是解析的;
1,其中是一复常数
2
3,其中曲线C是由光滑曲线连接而成
4
5、如果在C上,,而L时曲线C的长,其中ML都是有限的函数,那么:
 
4.黎曼积分与勒贝格积分的联系
勒贝格积分是黎曼积分的推广,它把黎曼积分作为一种特征来加以概括,它们在一定的条件下是可以相互转换,加上它时基于黎曼积分的许多局限而产生的,故它们之间既有联系又有区别。
4.1在定义和性质上的联系
在前面我们给出的积分定义可知道,它们都时基于分割求和,逐次逼近的数学思想进行定义的,区别仅在于黎曼积分的定义中是对定义域区间进行分割的,而勒贝格积分是对函数的值域区间进行分割的,从黎曼积分的定义知道黎曼和的作成时把积分区间分成有限个小部分在每一个中任取一点作成积分和,若有极限,且此极限值与的取法及的分法无关,黎曼积分才存在,这里可在中任意取可取得任意小,即中不同的取得任意接近时函数值要不起显著的变化,从而黎曼和在极限过程中的值改变不大,这只有在连续或接近连续的情况下才能实现,但勒贝格积分就克服了这一弱点,它从一开始就将按函数值接近的点取在同一中分割使得中无论两点靠近或离得近,函数值总是很接近的避免了在同一中函数值跳跃不大的弱点,因此勒贝格可积函数不必要求“太连续”内有界可测函数都是勒贝格可积的,而它们在基本的性质方面,我们不仅把前面这种积分的性质进行比较,从中可发现勒贝格积分的基本性质完全时从黎曼积分中类推出来的。
4.2在计算方面的联系
4.2.1勒贝格积分和黎曼积分一样也可以利用定义进行计算
 4.1:求
解:,为求此极限取特殊分割和点集为:
,并取则有
 4.2   设在康托集上定义函数=0而在的余集中长为的构成区间上定义为试证
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