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富贵而名摩灭不可胜记,唯俶傥非常之人生焉

世有大勇者,猝然临之而不惊,无故加之而不怒,此其所挟持者甚大,而其志甚远也

 
 
 

日志

 
 

一维无限深势阱中的粒子 意义  

2010-09-26 01:20:26|  分类: 读书心得及笔记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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关键字:一维无限深势阱中的粒子

一维无限深势阱中粒子模型是指一个质量为m的粒子被置于势能无穷大即无限深的阱中,沿某一方向(如x方向)运动.
    这样的阱当然是一种理想模型, 为什么要研究它呢?这至少有以下几个原因:
    1. 它的Schr?dinger方程很容易精确求解;
    2. 这个模型虽然简单得有些理想化,却能给出量子世界的大部分重要特征;
    3. 该问题的某些特征类似于经典物理中弦振动的问题;
    4. 对于某些实际问题——如化学中共轭分子内的π电子——这个模型是相当好的近似, 因而具有实际意义.
    用量子力学处理微观体系的一般步骤是:
    1.写出体系的势能函数,进而写出哈密顿算符;
    2.写出体系的Schr?dinger 方程;
    3.解方程,求出满足合格条件的解,得到体系的波函数及相应的能量;
    4.对求解结果进行讨论,作出适当的结论.
    下面建立一维无限深势阱中粒子模型的Schr?dinger方程并求解.

 
    设解的形式为
    代入微分方程得到 图1-16 一维无限深势阱
    后一方程叫做微分方程的辅助方程, 可解出s的两个不相等的根, 得到两个特解, 线性组合成通解:
    试用边界条件求待定系数AB. 品优波函数必须满足连续性条件,这意味着阱内波函数必须在左、右边界处与阱外波函数衔接;由于阱外波函数恒为零,所以阱内波函数在左、右边界上也必须趋于零.
    先利用左边界条件:
    按照原来的定义,B=i(CI-CII), 一般地说, B可以包含一个复指数相因子:
    但由于波函数可乘以任意常数而不改变其物理意义,所以,这相因子并不影响波函数的归一化(k可取任何值),因此可以不管它. 又根据前述理由,负号也可舍去。于是:
    最终求得本征函数为:
    能级、波函数和概率密度(电子云)可以用图形直观地表示如下:

讨论:
  (1)受束缚微观粒子的能量是量子化的,由量子数表征. 最低能态为基态;
  (2)每一个能级有对应的波函数;
  (3)波函数可以有正负变化,但概率密度总是非负. 概率密度为零的点或面(边界处除外)称为节点或节面,一般说来,节点或节面越多的状态,波长越短,频率越高,能量越高;
  (4)能量(或概率密度)不随时间变化的状态为定态,定态与驻波相联系. 所以,由德布罗意关系式λ=h/p和驻波条件nλ/2)=l 也能得到能级公式;

图1-17 一维无限深势阱中粒子的波函数和概率密度
  (5)体系的全部合理解构成正交归一完全集;
  (6)能级差与粒子质量成反比,与粒子运动范围的平方成反比. 这表明量子化是微观世界的特征;
  (7)
能级公式表明:对于给定的量子数n来说,能级En与粒子运动范围的平方成反比, 粒子运动范围增大,能量降低. 这正是化学中大π键离域能的来源;
  (8)基态能量E1并不为零,表明体系有一份永远不可剥夺的能量,此即零点能. 这是不确定关系的必然结果.
化学中的离域大π体系往往可用一维势阱模型处理. 例如,含r个双键的共轭多烯,其HOMO与LUMO能级的量子数分别为rr+1(在后面学到丁二烯的HMO处理时, 将会看出这一点),其能级差和最长吸收波长为:
    例如, 对于r=4的体系, 若由键长估计出l=1.120nm, 可以计算出λ=460nm; 反之,也可由光谱测得的λ计算l.
    注意:当体系中含有孤对电子时,HOMO与LUMO的量子数通常增大,如花菁染料一价正离子R2N-(CH=CH-)rCH=N+R2, 虽也含r个双键,但HOMO与LUMO能级的量子数分别为r+2和r+3,而不是rr+1,所以,尽管能级差和最长吸收波长的公式推导方法不变,但结果却不同!
    算符代数与普通代数的最大区别是:乘法交换律对于算符代数一般不成立(而乘法结合律仍然成立). 为了表征算符代数的这种特点,定义两个算符的对易子为
    若对易子为零,则称这两个算符可对易;若对易子不为零,则称这两个算符不可对易。算符是否可对易,不仅具有数学意义,而且与量子力学测量理论密切相关,具有极其深刻、极其重要的物理意义和哲学意义.
    已知xpx之间有不确定关系. 表现在算符上, 就是这两种算符不不对易:
    一维无限深势阱中的粒子具有确定能量时没有确定的坐标, 这也可以从算符的对易关系加以考察(注意:坐标算符与势能算符可对易,因为势能算符由坐标构成):
     证明过程用了算符恒等式:
    坐标与能量算符不对易,故能量确定时坐标不确定.

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