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富贵而名摩灭不可胜记,唯俶傥非常之人生焉

世有大勇者,猝然临之而不惊,无故加之而不怒,此其所挟持者甚大,而其志甚远也

 
 
 

日志

 
 

玄论 第七章先声  

2010-10-18 12:52:54|  分类: 他科之璞可以攻玉 |  标签: |举报 |字号 订阅

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                                 第七章先声
                                           李淼

(第一节)

    本想用“二次革命的先声”作为本章标题,但这样一来太象过去写国民革命的早期的文章了,故简单地用先声,以期不落俗套。

    超弦第二次革命其来也突然,使得很多人一时摸不着头脑,比如像我这样一直没有离开弦论的人,也花了近半年时间来吸收。当时在国内的人,似乎还没有人意识到在美国、欧洲和印度发生了什么。我在97 年回国访问,很多人还对所谓超弦革命持怀疑态度。感谢当时理论所的所长苏肇冰先生,是他的诚意使得我的那次回国成为可能。其实早在96 年夏,苏先生就托他过去的学生让我写一个短文介绍对偶的发展,目的是用在他当时向上面要钱的文章里。作为一直关心场论发展的一个凝聚态物理专家,这样的态度与国内的一些场论专家形成明显的对照。我写这一段,用意有二,一是不能忘记苏先生的作用,二是提醒大家前事不忘,后事之师:虽然弦论在中国已有一定的影响,可是我们过去是怎样对待它的。

    超弦的第二次革命之所以让许多人不知所措,主要原因是它的背景深藏于过去之中,要完全接纳需要一定的时间。这些背景包括我们前面已经介绍了的超对称、超引力、K-K 理论,还有没有介绍的孤立子理论,以及相当多的有效量子场论。再有就是革命发生前的一些重要却没有引起足够注意的发展,如所谓的T-对偶、卡-丘流形的镜像对称性,当然最后不能忘记更早的关于S-对偶的猜测,以及森等人的较为近来的工作。所以在进入二次革命的正题前,应先介绍一下这些背景。

    但在介绍这些背景之前,觉得想说点关于中国研究超弦的话,说到哪儿是哪儿。为什么到现在才提这个话题?或者有人问,为什么要讲这个?主要原因是,最近一些搞物理和数学的以丘成桐先生为首,在杭州和北京搞了两个超弦的短会,请来了一些弦论界的重要人物,如威顿、格罗斯、施特劳明格等人,再加上历来的理论物理的“形像大使”霍金,对学生和新闻界影响不小,使得弦论从几乎无人注意(当然除了本坛上一些活跃的人和读者以及历年参加国内弦论会议的人)一下子变成公众议论的话题。我记得有一次打的,司机在得知我是搞理论物理的时候问我,模世界和我们的宇宙有没有关系?既然弦论在中国已成为公众的话题,谈一下弦论在中国的历史应当是一个对大家有益的事。尤其对一些已经选弦论作为研究方向,以及希望进入弦论的学生来说,这个话题是有用的。我已写了二十一节,贡献一节给中国,当然中国对弦论的贡献远远不到二十分之一。

    弦论的祖先之一,散射矩阵理论,在中国的历史和在世界的历史是一样长的。张宗燧先生的两卷本著作含有比较详细的中国人对散射矩阵理论的贡献的文献,其中值得一提的是戴元本先生的工作。可惜的是,虽然弦论起源于散射矩阵理论,由於当时中国正处於文革,中国人在早期对弦论并无贡献。中国人开始注意弦论,是在弦论的第一次革命中。记得我第一次听说弦论,是因为看到了威顿等人关于卡-丘紧化的文章。

    我个人比较幸运,在弦论的第一次革命后,有机会去意大利的国际理论物理中心,接触到当时的预印本,见到很多当时活跃的人包括威顿。从而早在85 年就开始写关于弦论的不重要的文章了。在国内,除了理论所外,还有科学院研究生院、浙江大学、复旦大学的一些人开始注意弦论,当然西北的侯伯宇等人也把注意力从反常转移到弦论。

    作为作者,总是喜欢先谈自己以及与自己有关的人,这里也不例外。当时的情况是,科大的一些人,如方先生和他的学生,开始重视弦论。方集中精力研究他的天体物理,所以将研究弦论的事情交给他的学生,我是他的学生,高洪波也是他的学生,比我晚些。高怡泓是方的半个学生,所以如果这几个人还算对中国的弦论做了一点事情的话,方先生是间接地做了贡献。方指导学生做学问的办法是放羊,有草吃没草吃全看学生自己的能力,我是很喜欢这种方法的。当然,由於方本人不是弦论专家,不能直接告诉我们弦论中哪些是重要问题,这可能会延缓学生的成长,但却是培养了学生的独立能力。对於他能直接指导的学生来说,成效就完全不同了。尽管如此,我和高怡泓还是坚持了下来。相反,有一些专门研究场论和弦论老师的学生,却大部分离开弦论甚至理论物理了。

    听说有人有科大“三剑客”的说法,感谢这些人对我们的谬奖。这“三剑客”,当年在科大的确是很“哥们”的,有酒一起喝,有文一同看。高洪波兄由於个人的事情在数年前离开弦论。但他还一直注意弦论的发展,也是我们这个坛子的常客。他的物理背景在他现在的工作中起了很大作用,他现在在加拿大已经是一个很成功的金融界人士了。只剩下我和高怡泓这两柄秃剑还在慢慢地挥舞。其实科大当时还有一个非常独立的人,不但独立於老师,也独立於“三剑客”,这人就是后来很有成就的卢建新。所以说,论对中国弦论界的贡献,科大为第一(仅卢一人就可以了)。

    再谈理论物理所,前面我提到苏先生,他不研究弦论,但对场论和弦论的重视超过很多场论专家。理论所在一次革命后研究弦论的主要是老师,值得一提的是朱重远老师,他是一直支持研究弦论的。有意思的是,理论所出来的唯一长期研究弦论的学生,也是他的学生,就是熊传胜。熊有重要的工作,他和江口(Eguchi)的关于拓扑弦的工作在数学界有很大影响。可惜由於我们还不知道的原因,他也离开了物理。

    浙江大学的汪容老师带了很多研究弦论的学生,包括虞跃先生。虞跃虽然后来离开弦论,他的研究弦论的经历相信对他在凝聚态物理中的研究是有很大帮助的。
复旦大学倪光炯的学生陈伟,也是早期研究弦论的有数的人之一。他也离开弦论了,但在
干也许比研究弦论更有用的事:和朋友一同主持在新泽西州的一家英文科学出版社。蒙他的鼎力相助,我和吴咏时先生合作编缉的一本物理中的非交换几何已经出版(大家快掏银子买书,支持他的出版事业--银子不会到我这里)。

    西北大学带出了许多学生,如陈一新等人。西北大学至今还是国内研究超弦的基地之一。北京的研究生院出了朱传界一人,也是异数。

    再往后,弦论在中国越来越不受重视,就很少出人了。我知道的,也就是理论所吴可老师的学生陈斌。而现在理论所的研究员喻明也是从国外回来的。从上面的超弦在中国的简史可以看出,弦论在中国是亟需加强的。不但要寄希望于国家的更多投入,更寄希望于后来的学生。(我很可能遗漏了很多,请大家补充)

(第二节)

    上一节谈弦论在中国,其实有点离题。没有想到,离题的话居然更有市场,那一节看的人大概是最多的了。这一节把话题收回来,谈谈超弦第二次革命前的一些背景知识。

    最重要的,莫过於孤立子这个概念。在很大程度上,弦论实现了爱因斯坦在研究统一场论时的一个设想:在他的一个理想中,存在一个完美的引力理论,所有物质粒子在这个理论中都是场方程的解。自1994 年以来,孤立子在弦论中占有中心地位。几乎所有的物体,包括弦本身,都可以看作是孤立子。

    孤立子的经验发现虽然很早,可以追溯到十九世纪罗素骑马时在一个河道中看到的一个孤立波,但在物理中很晚才作为理论和实验的对象。水波的第一个孤立波的解的发现也是迟至上世纪六十年代由克鲁斯卡尔(Kruskal) 等人作出的。孤立波或孤立子从那以后就几乎成了一个独立学科。在很多情况下,孤立子的解看起来很难找到,但在一些简单的模型里可以用简单的办法找到。
  
    一个线性波动方程的解总是有能量弥散,开始时准备的一个能量很集中的波包经过一段时间很就逐渐地扩散开来。所以要有一个或很多孤子解,波动方程就必须是非线性的。最简单的是两维时空中的一个标量场论,其中相互作用的势能是场的四次多项式,有两个极小点。每个极小点代表一种真空,能找到一个静态解,其在两个无限远处的取值是这两个极小点。因为是连接两个真空点的解,这样的解叫纽结解(kink)。这个最简单的孤子是稳定的,因为它要是能衰变的话,两个无限远点的真空必须变成同一个真空,这是做不到的。还存在反纽结解,它的两个端点的真空与纽结解的完全相反。这样一个纽结解和一个反纽结解可以放在一起,因为纽结解的右边的真空与反纽结解左边的真空是一样的。这个系统是不稳定的,因为两边的真空是一样的了,这个不稳定性其实就是正反纽结的湮灭。

    当时空的维数超过3 时,有一个定理说,如果只存在标量场,就没有孤子解。通常,经典场的能量可以分为两部分,一部分与场在空间上的变化率有关,另一部分与场的势能有关。空间变化率越大,场的能量就越大,所以这一项使得场倾向于在空间上变得更均匀,从而能量比较分散。而势能项使得场变得很集中,在大部分的空间中场处於极小点。这两项有竞争的趋势,可以平衡时,就可能存在孤子解。在高维的时空中,势能项取得优势,从而不存在孤子解。

    在三维时空中,解决这个问题的办法是在标量场以外再引入规范场。规范场的存在可以减小标量场空间变化对能量的贡献,从而这一项与势能项可能取得平衡,规范场本身对能量的贡献也可以是有限的。最简单的孤子解是所谓的涡旋解(vortex),这个解的特点是一个复标量场的取向与所在的空间点相对於原点的取向一致。这个解推广到三维空间中是一个弦状的解,因为这个解不依赖于第三维,从而能量集中在平行于第三维的一个轴上。这就是有名的尼尔逊-奥尔逊涡旋解(Nielsen-Olesen)。

    两维时空中的纽结解和三维时空中的涡旋解同属於一类,叫拓扑孤子解,因为这两种解中有一个守恒荷,与拓扑有关。在前者,拓扑荷就是两个孤立的真空之差,是一个固定的数。在后者,荷与所谓的绕数有关,也就是,绕原点一周,复标量场也在场空间上绕原点一周。如果表量场绕原点不止一周,拓扑荷就更大。

    在涡旋解的情况下,我们又说该解饱和波戈茅力(Bogomol'nyi) 下限。在这个简单的电磁理论中,人们可以推出一个能量的下限,当所有的场都满足一些一阶微分方程时,这个下限被饱和。所以从经典的观点来说,这个解是绝对稳定的。

    当时空的维数高于三维时,我们就得引进非阿贝尔规范理论,去得到孤子解。最简单的例子是一个四维时空中的SU(2)规范理论,加上一个在这个群下的自伴随表示的标量场。这个标量场有三个份量,数目正好与空间维数相同(与纽结解和涡旋解的情形一样)。这时,我们也引进一个势能项,使得极小点组成一个两维的面。现在构造一个解,其中标量场在场空间中的取向与空间点相对於原点的取向一致。标量场在无限远处在极小点上取值,所以标量场把无限远的两维球面映射到标量场的极小两维球面。这也是一个绕数为一的解,所以也是一个拓扑解。由於关于纯标量场的定理,我们需要一个不为零的规范场。由於在无限远处非阿贝尔对称破缺成普通的阿贝尔对称,这个一个磁单极解,带一个没有破缺的规范场的磁荷。这个解为玻利雅可夫与特霍夫特同时在1975 年发现。由於标量场的方向与空间方向一致,长得象一个刺猥,所以那时又叫刺猥解(hedgehog)。请注意,纽结解、涡旋解和刺猥解这三个名称都与解的形状有关。我建议大家记住这些名称,因为这些名称包含解的大致性质。这些解都满足波戈茅力的极限,所以这些解统称为BPS 解, BPS 来自于三个人的名字( Bogomol'nyi,Parasad,Sommerfeld)。它们都满足一些一阶微分方程,这些方程又叫BPS 方程。

    假定时空的维数更高,能不能找到新的孤子解?答案是肯定的。在场论中,下一个例子是五维时空。这里,我们仅仅应用一下四维时空中得到的解,这个解是玻利雅可夫于1975 年发现的瞬子解(instanton)。为何叫瞬子解?因为这个解是四维欧氏空间中的解,在场论中类似于量子力学中的隧道穿透解,不是一个实际发生的过程,而是一个量子效应。这个解仅仅需要非阿贝尔规范场,并不需要标量场了。在五维时空中,一个静态解不依赖于时间,实际上是一个四维欧氏空间中的解,所以瞬子解正好应用到这里,变成一个孤子解了。瞬子解也是一个BPS解。

    我们提到的孤子解都有一个重要的特点,就是所有不为零的场在空间所有的点上都是光滑的,没有奇异性。如果放弃这个要求,那么即使在一个线性的理论中也可以找到能量集中在一个小区域的解,例如原来的点状电子为电磁场提供一个点状的源。这样的解不能叫做孤子解,因为如果象量子电动力学中本来就有电子,这个解不能代表一个独立的自由度。如果没有电子,这个解就毫无意义了。

    我不知道在纯粹的场论中,高于五维时空是否存在孤子解。可能不存在。如果有引力介入,情况就完全不同了。我们可以说,黑洞就是一个孤子解。黑洞解虽然有一个奇点,这个奇点与电子解的奇点完全不同。有两个不同之处:第一,黑洞的奇点不是存在於空间中的某个点,不是在所有时间上都存在的,用行话说,不是一个类时点,而是一个类空
点,突然出现在某个时间上,有点象大爆炸宇宙的开始时的奇点;第二,黑洞的奇点被一个视界面藏起来了,站在黑洞之外的人看不到这个奇点。爱因斯坦理论是非线性的,所以这个类似孤子解的黑洞的存在很容易理解。

    所有的高维的爱因斯坦理论中都存在黑洞解,所以我们可以说,与通常的场论不同,引力理论中总存在孤子解,无论时空维数有多高。也许两维时空和三维时空是特例。两维时空中,度规本身没有任何自由度,从某种角度来说,自由度甚至是负的。为了引入黑洞,就必须引入一个标量场,如伸缩场。引进这个标量场后,自由度的个数为零,即便如此,黑洞解就存在了。

    在三维时空中,纯引力理论的自由度也为零,如果有一个负的宇宙学常数,黑洞解也存在。当在一个理论中找到孤子后,接下来有一个量子化的问题,必须考虑所有场的量子涨落对孤子解能量的贡献。计算这些贡献要将一个场以在孤子解附近的模来展开。对於玻色场来说,可能存在零模,也就是对能量没有贡献的模。最简单的是对应于孤子位置平移的模,这些模又叫模参数(modui p arameters),因为它们是描述孤子自由度的参数。如果存在费米场,费米场的零模也有重要的物理含义。这些零模通常是局域的,在空间上的积分是有限的。费米场的零模,作为一个算子,作用在原来的孤子解上的时候,产生一个新的能量与原来一样的态,这个态是费米子。在特殊情况下,如在纽结解情形,费米数甚至是1/2。当存在超对称时,一个孤子解通常有几个伴随的态。如果这个孤子解不破坏一些超对称,
能量可能没有量子修正,特别是在这个孤子是一个BPS